Número de Fibonacci

Na matemática, os Números de Fibonacci são uma seqüência (sucessão, em Portugal) definida como recursiva pela fórmula abaixo:

Na prática: você começa com 1 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci (sequência A000045 na OEIS) para n = 0, 1,… são

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Esta seqüência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (Dc. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses se for suposto que:

• no primeiro mês nasce apenas um casal,
• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
• não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo,
• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
• os coelhos nunca morrem.

O termo seqüência de Fibonacci é também aplicado mais genericamente a qualquer função g onde g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Estas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as seqüências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.

Em particular, a seqüência de Fibonacci com F(1) = 1 e Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci F(2) = 3 é conhecida como os números de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as enésimas potências:

Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula:

L(n) = F(n - 1) + F(n + 1)

Com esta fórmula podemos montar a Seqüência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1.

Como mostra a figura abaixo;

Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos

F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2
F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1

e a primeira posição 1.

Note que a Seqüência de Fibonacci esta no resultado de cada posição; 1,1,2,3,5,8 …